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- 명제(Proposition)
객관적인 기준으로 진릿값을 구분할 수 있는 문장이나 수식 : 영어 소문자 p,q,r... 로 표현
- 진릿값(Truth value)
참(true: T / 1)이나 거짓(false: F / 0)을 가리키는 값
- 부정(NOT : ￢p)
문장 p가 명제일 때 "p가 아니다"를 의미.
p의 기존 진릿값과 반대의 진릿값을 갖는 명제.
| p | ￢p |
| T | F |
| F | T |
- 논리곱(AND : p∧q, p & q)
p, q의 진릿값이 모두 참(T)일 때 참(T) 되고 아니면 거짓(F)이 되는 명제
| p | q | p∧q |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |
- 논리합(OR : p∨q, p | q)
p, q의 진릿값 중 하나만 참(T)이여도 참(T) 되고 아니면 거짓(F)이 되는 명제
| p | q | p∨q |
| T | T | T |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
- 베타적 논리합(XOR : p ⊕ q)
p, q의 진릿값 둘 중 하나만 참(T)일 때만 참(T)되고 아니면 거짓(F)이 되는 명제
p ⊕ q = (￢p ∧ q ) ∨ ( p ∧ ￢q)
| p | q | p ⊕ q |
| T | T | F |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
- 합성명제(Compound Proposition)
하나 이상의 명제들이 논리연산자에 의해 결합된 명제
| 우선순위 | 논리연산자 |
| 1 | 괄호 : ( ) |
| 2 | NOT : ￢ |
| 3 | 논리곱 : ∧ |
| 4 | 논리합 : ∨ |
- 항진, 모순, 사건 명제(Tautology, Contradiction, Contingency)
항진 : T = 단일 명제의 진릿값과 상관없이 합성명제의 진릿값이 항상 참(T)인 명제
모순 : F = 단일 명제의 진릿값과 상관없이 합성명제의 진릿값이 항상 거짓(F)인 명제
사건 = 항진도 모순도 아닌 합성명제 *합성(항진, 모순, 사건)
- 조건명제/함축(Conditional Proposition / Implication : p → q)
명제 p와 q에 대해서, p가 가정/전제이고, q가 결론/결과가 되는 명제
조건명제의 영어 표현
• if p, then q (p이면 q이다.)
• p implies q (p는 q를 함축한다.)
• p only if q (p일 경우에만 q이다.)
• p is sufficient for q (p 는 q인것으로 충분하다.)
• p is necessary for q (p 는 q를 위해 필요하다.)
| p | q | p → q ≡ r |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
- 쌍방조건명제(Biconditional Proposition : p ↔ q)
명제 p와 q에 대해서, 명제 p와 q가 가정이면서 동시에 결론인 명제
쌍방조건명제의 진릿값은 베타적 논리합의 진릿값의 반댓값이다.
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
쌍방조건명제의 영어 표현
• p is necessary and sufficient for q ( p 는 q 의 필요충분조건이다.)
• if p then q, and conversely (만약 p이면 q이며, 그 반대도 성립한다.)
• p if q (q 일 때만 p 이다.)
| p | q | p ↔ q |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | T |
| 우선순위 | 연산자 |
| 1 | → |
| 2 | ↔ |
- 역, 이, 대우 (Converse, Inverse, Contraposition)
명제 p와q에 대해서, '역'은 가정과 결론이 바뀐 q → p 형태, '이'는 가정과 결론을 각각 부정한 ￢p → ￢q 형태,
'대우'는 가정과 결론을 바꾸고 각각 부정(Not)한 ￢q → ￢p 형태 * 대우 진릿값 ≡ 조건 진릿값, 역 진릿값 = 이 진릿값
| p | q | 조건명제 | 역 | 이 | 대우 |
| p → q | q → p | ￢p → ￢q | ￢q → ￢p | ||
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | T | F |
| F | T | T | F | F | T |
| F | F | T | T | T | T |
- 논리적 동치 + 법칙 (Logically Equivalence : P ≡ Q)
두 개의 합성명제 P 와 Q의 진릿값이 서로 같은 경우
| 논리적 동치 | 법칙 |
| p∧T ≡ p p∨F ≡ p |
동일법칙 |
| p∨T ≡ T p∧F ≡ F |
지배법칙 |
| p∨p ≡ p p∧p ≡ p |
등멱법칙 |
| ￢(￢p) ≡ p | 이중부정법칙 |
| p∨q ≡ q∨p p∧q ≡ q∧p |
교환법칙 |
| (p∨q)∨r ≡ p∨(q∨r) (p∧q)∧r ≡ p∧(q∧r) |
결합법칙 |
| p∨(q∧r) ≡ (p∨q)∧(p∨r) p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r) |
분배법칙 |
| p∨(p∧q) ≡ p p∧(p∨q) ≡ p |
흡수법칙 |
| ￢(p∧q) ≡ ￢p∨￢q ￢(p∨q) ≡ ￢p∧￢q |
드 모르간법칙 |
| p∨￢p ≡ T p∧￢p ≡ F |
부정법칙 |
- 추론/논증 (Inference / Argument)
참(T)인 명제를 근거로 하여 다른 명제가 참(T)임을 유도하는 방식
- 가정/전제,결론
가정/전제 : 진릿값이 항상 참(T), 결론의 근거가 되는 최종 결론을 제외한 명제
결론 : 주어진 전제에 의해 유도된 명제
- 유효/정당한 추론, 허위/부당한 추론
유효추론 : 전제가 참일 때 결론도 모두 참인 추론, 주어진 전제를 이용한 유도된 결론이 정확한 추론
허위추론 : 전제가 참인 경우에 결론도 하나라도 거짓인 추론, 주어진 전제를 이용한 유도된 결론이 틀린 추론
- 논리적 추론 법칙
| 법칙 | 추론법칙 | 항진명제 |
| 논리곱 (Conjunction) |
p q ∴ p ∧ q |
없음 |
| 선언적 부가 (Disjunctive Addition) |
p ∴ p ∨ q |
p → (p ∨ q) |
| 단순화 (Simplication) |
p ∧ q ∴ p |
(p ∨ q) → p |
| 긍정논법 (Modus Ponens) |
p p → q ∴ q |
[p ∧ (p → q)] → q |
| 부정논법 (Modus Tollens) |
￢q p → q ∴ ￢p |
[￢q ∧ (p → q)] → ￢p |
| 선언적 삼단논법 / 소거 (Disjunctive Syllogism) |
p ∨ q ￢q ∴ p |
[p ∨ q) ∧ ￢q] → p |
| 가설적 삼단논법 / 추이 (Hypothetical Syllogism) |
p → q q → r ∴ p → q |
[(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) |
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