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- 합집합(Union) : A ∪ B
OR : 집합 A, B가 있을 때 집합 A, B 모두 속하거나, 둘 중 하나의 집합에 속하는 원소들로 구성된 집합
A ∪ B = { x │ x ∈ A ∨ x ∈ B }
- 교집합(Intersection) : A ∩ B
AND : 집합 A,B 가 있을 때, 집합 A와 B 모두 속하는 원소로 구성되는 집합
A ∩ B = { x │ x ∈ A ∧ x ∈ B }
- 합집합과 교집합의 기수
- │ A ∪ B │ = │ A │ + │ B │ - │ A ∩ B │
- │ A ∪ B ∪ C │ = │ A │ + │ B │ + │ C │ - │ A ∩ B │ - │ A ∩ C │ - │ B ∩ C │ + │ A ∩ B ∩ C │
- │ A ∩ B │ = │ A │ + │ B │ - │ A ∪ B │
- A ∩ B = Ø인 경우, │ A ∪ B │ = │ A │ + │ B │
- 서로소(Disjoint)
집합 A와 B 사이에 공통으로 속하는 원소가 하나도 없는 경우
A ∩ B = Ø
- 차집합(Difference) : A - B
집합 A, B에서 집합 A에는 속하지만, B에는 속하지 않는 원소로 구성되는 집합
A – B = { x | x ∈ A ∧ x ∉ B }
차집합의 정의 : A - B = A ∩ B'
- 대칭차집합(Symmetric Difference) : A ⊕ B
집합 A, B에 대해 A-B에 속하거나 B-A에 속하는 원소로 구성되는 집합
A ⊕ B = { x | (x ∈ A ∧ x ∉ B) ∨ ( x ∉ A ∧ x ∈ B)}
= { x | (x ∈ A – B) ∨ (x ∈ B – A)}
= { x | x ∈ [(A ∪ B) - (A ∩ B)]}
- 여집합/보집합(Complement) : A'
x가 전체집합( U )에는 속하지만 집합 A에는 속하지 않는 원소들로 구성된 집합.
A' = { x | x ∈ U ∧ x ∈/ A } = U - A
- 곱집합(Cartesian Product) : A × B
집합 A, B에 대해 a ∈ A, b ∈ B일 때, 순서쌍 (a, b)의 집합
A × B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B } *곱집합은 결합법칙이 성립하지 않는다.
A × B 와 B × A는 같지 않다.
| A × B | = | A | ∙ | B | *곱집합의 기수는 기수의 수를 곱하면 됨.
- 멱집합(Power Set) : P(A)
n개의 원소를 갖는 집합 A에 대하여 집합 A의 모든 부분집합을 원소로 갖는 집합
P(A) = { B | B ⊆ A }
| P(A) | = 2ⁿ *멱집합의 기수는 2의 n승
- 대수법칙
| 집합 | 대수법칙 |
| A ∪ Ø = A, A ∩ U = A | 항등법칙(Identity Law) |
| A ∪ U = U, A ∩ Ø = Ø | 지배법칙(Domination Law) |
| A ∪ A = A, A ∩ A = A | 멱등법칙(Idempotent Law) |
| A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A | 교환법칙(Commutative Law) |
| A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C |
결합법칙(Associative Law) |
| A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) |
분배법칙(Distribute Law) |
| (A')' = A | 이중 보법칙(Double Negation Law) |
| A ∪ A' = U, A ∩ A' = Ø Ø' = U, U' = Ø |
보법칙(Complement Law) |
| (A ∪ B)' = A' ∩ B', (A ∩ B)' = A' ∪ B' | 드모르간의 법칙(De Morgan's Law) |
| A ∪ (A ∩ B) = A, A ∩ (A ∪ B) = A | 흡수법칙(Absorption Law) |
- 분할(Partition) : A = { A1, A2, A3, ..., An }
공집합이 아닌 임의의 집합 A를 서로소면서 공집합이 아닌 하나 이상의 부분집합으로 나누는 것
- 집합 A가 있을 때, i = 1, 2, …, k에 대하여
- Ai ≠ Ø
- Ai ⊆ A
- A = A1 ∪ A2 ∪ … ∪ Ak
- i ≠ j면 Ai ∩ Aj = Ø
- 집합류(Set Class) : Ai
집합 A에 대하여 분할의 성질을 가지고 있는 집합 A의 부분집합
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